Viele Wege führen zu Pi. Eine klassische Herausforderung der Mathematik ist die Bestimmung der Naturkonstante Pi, die mit dem Symbol π abgekürzt wird und den gerundeten Wert 3,14159 hat. Sie gibt das Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser wieder, das aufgrund der Gleichförmigkeit von Kreisen aller Größen stets gleich ist. Trotzdem ist die Berechnung von Pi alles andere als einfach, denn als irrationale Zahl ist sie unendlich und lässt sich nur näherungsweise und nicht durch eine endliche Zahlenformel oder Bruchzahl ausdrücken. Nicht nur aus praktischen Gründen, wie bei der Berechnung der Reisedauer auf Wagen mit Rädern von einem bestimmten Radius und einer Rotationsdauer um die Achse, hat die Berechnung von Pi den Menschen Kopfzerbrechen bereitet. Spätestens seit der Begründung der Mathematik als akademische Disziplin durch die antiken Griechen ist ein Wettstreit um die möglichst exakte Bestimmung von Pi entbrannt. Welcher Einfallsreichtum zur Bestimmung von Pi seitdem hervortrat, wird im Folgenden an drei klassischen Beispielen nachgezeichnet.
Aus dem Kreis wird ein Vieleck
Der erste Ansatz wird auf den griechischen Philosophen Antiphon (480-411 v. Chr.) zurückgeführt. Sein Prinzip kann wie folgt veranschaulicht werden: Wird der Kreis durch den Mittelpunkt schneidende Linien in gleichgroße Sektoren unterteilt, so passt in jedes „Kuchenstück“ ein gleichschenkliges Dreieck. Alle Dreiecke zusammen ergeben ein gleichförmiges Vieleck, das den Kreis von innen ausfüllt. Für jedes dieser Dreiecke kann nun ausgehend von den beiden gleichlangen Seiten, die den Radius (nachstehend r) darstellen, die Länge der verbleibenden Außenlinie (nachstehend u) bestimmt werden, welche die Kreislinie an ihren Enden berührt. Durch die Anzahl der Unterteilungen sind sowohl die Anzahl der Dreiecke mithin der Außenlinien wie auch die Größe des jeweiligen Winkels am Kreismittelpunkt (nachstehend α) vorgegeben. Entsprechend passen bei einer Einteilung des Kreises in vier Sektoren vier rechtwinklige Dreiecke hinein, die zusammen ein quadratisches Viereck ergeben. Als angenäherter Kreisumfang (nachstehend U) ergäbe sich das Vierfache der Länge der dem rechten Dreieckswinkel gegenüber liegenden Außenlinie, die nach dem Satz des Pythagoras folgendermaßen zu ermitteln ist: r² + r² = u². Nach Umstellung der Formel muss gelten:
u = √(2r²)
U = 4u
π = U / 2r ≈ 4 · √(2r²) / 2r ≈ 2 · √2 ≈ 2,828
Dies ist natürlich eine äußerst unbrauchbare Näherung, sie verdeutlicht aber das Prinzip.
Die Einteilung kann nun beliebig ausgeweitet werden, indem die Dreiecke nochmals geteilt werden, wodurch eine weitere Annäherung an Pi stattfindet, da das Vieleck den Kreis immer mehr ausfüllt. Auf der Website von Matheplanet wird das weitere Vorgehen anschaulich dargestellt. Archimedes von Syrakus (287-211 v. Chr.) bestimmte nach diesem Prinzip den Wert für Pi anhand eines 96-Ecks. Dabei rechnete er auch mit den den Kreis umgebenden Vielecken, sodass er eine Ober- und Untergrenze für Pi vorweisen konnte: 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70
Bestechend einfach: Buffons Nadelexperiment
Durch ein einfaches Experiment kann der Wert von Pi abgeschätzt werden. Wirft man eine Nadel auf ein Blatt Papier, auf welchem Linien im Abstand der Nadellänge eingezeichnet sind, so kann die Nadel eine der Linien schneiden bzw. berühren (Treffer) oder auch nicht. Bei Wiederholung der Würfe ergibt sich für den Fall der Überschneidung die Wahrscheinlichkeit P nach der Formel:
P = Anzahl Treffer / Anzahl Versuche = 2 / π
Nach Umstellung gilt:
π = 2 · Anzahl Versuche / Anzahl Treffer
So einfach die Versuchsanordnung auch ist, so kompliziert ist aber die Erklärung. Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707-1788) vollbrachte im Alter von 20 Jahren den mathematischen Nachweis der Gültigkeit des nach ihm benannten Nadelexperiments. Mit dieser Methode gelang dem Schweizer Astronomen Rudolf Wolf (1816-1893) nach 5000 Würfen die Abschätzung von π ≈ 3,1596. Will man nicht das Nähkästchen plündern und zeitaufwendig Nadeln werfen, so kann man dieses Experiment auch am Computer simulieren.
Intuition des mathematischen Genies Ramanujan
Anfang des 20 Jahrhundert machte der Inder Srinivasa Ramanujan (1887-1920) in Kreisen der mathematischen Elite von sich zu sprechen. Ganz ohne universitäre Bildung und nur autodidaktisch mit der Mathematik vertraut gelangen ihm scheinbar mühelos sensationelle Entdeckungen und Fortschritte auf dem Felde der Mathematik. Hierunter fällt auch das Aufstellen der nachstehenden Formel zur Ermittlung von Pi.
1 / π = √8 / 9801 · Σ((4n)! / (n!)^4 · (1103 + 26390n) / 396^4n) ; für n = 0 bis n → ∞
Die Formel zeichnet sich durch eine bis dahin nicht dagewesene Effizienz aus. Bereits für n = 10, also bei zehn Summationen, ergibt sich eine fehlerfreie Abfolge von 88 Stellen – weit effizienter als Archimedes´ aufwendig zu rechnende 96 Ecken-Lösung, die nach 3 Nachkommastellen bereits versagt.
Fünf Billionen Nachkommastellen von Pi sind nicht genug
Inzwischen wurden noch e